开发易忽视的问题：BigDecimal底层原理分析

BigDecimal 是 Java 中用于高精度计算的类，特别适合处理需要保留小数点后多位的金融计算。

使用时需要注意以下几点：

1. 避免使用double构造：

   • 使用 BigDecimal(double val) 构造函数可能导致精度问题，因为 double 本身的二进制表示方式会引入误差。建议使用字符串来构造，例如 new BigDecimal("0.1")。

2. 舍入模式：

   • 在进行除法运算时，通常需要指定舍入模式，否则可能会抛出 ArithmeticException。可以使用 divide(BigDecimal divisor, int scale, RoundingMode roundingMode) 方法。

3. 不可变性：

   • 由于 BigDecimal 是不可变类，每次执行数学运算都会产生一个新的对象，尽量避免在循环中频繁创建新对象，以免影响性能。

4. 比较大小：

   • 使用 equals() 比较两个 BigDecimal 对象时，它会考虑数值和刻度（scale）。如需仅比较数值大小，应该使用 compareTo() 方法。

5. 处理零值：

   • 注意不同的零值表示，例如 BigDecimal.ZERO.setScale(2) 和 new BigDecimal("0.00") 在数值上相等但 equals() 方法会返回 false。

6. 精度控制：

   • 小心处理需要高精度的运算，合理设置小数位数和舍入模式以确保计算结果的可靠性。

7. 性能考量：

   • 尽管 BigDecimal 提供高精度，但其运算速度可能不如基本数据类型。在涉及大量计算时，需要在精度和性能之间做出权衡。

原理分析

BigDecimal 使用 BigInteger 来存储数值部分，并通过一个整数记录小数点的位置（刻度）。这使得 BigDecimal 可以精确地表示非常大的或非常小的十进制数，不会丢失精度。

除法运算执行流程

BigInteger 位于 java.math 包中，它的除法操作主要使用 divideAndRemainder 方法，计算两个大数之间的除法操作，并返回商与余数。以下是该方法实现逻辑的简要分析：

1. 输入检查：

   • 首先，检查除数是否为零。如果是，则抛出 ArithmeticException，因为不能除以零。

2. 符号处理：

   • 判断结果符号。商和余数的符号取决于被除数和除数的符号组合。

3. 边界条件优化：

   • 如果被除数比除数小，直接返回商为 0，余数为被除数自身。
   • 若两者相等，返回商为 1 或 -1（取决于符号），余数为 0。

4. 调用内部方法：

   • 对于非简单边界情况，调用内部私有方法进行实际计算，例如 divideKnuth 或 divideAndRemainderKnuth。

5. 使用 Knuth 算法 D：

   • 这是一个多精度除法算法，适用于较大整数的除法运算。
   • 包括标准化、商估计、调整及计算余数的步骤。

6. 返回结果：

   • 方法返回一个包含两个 BigInteger 对象的数组，第一个是商，第二个是余数。

源码片段示例

虽然无法提供实际的源码，但可以描述它的伪代码逻辑：

public BigInteger[] divideAndRemainder(BigInteger val) {
    if (val.equals(ZERO)) {
        throw new ArithmeticException("Division by zero");
    }

    BigInteger[] result = new BigInteger[2];
    int cmp = this.compareMagnitude(val);
    
    if (cmp < 0) {
        
        result[0] = ZERO;
        result[1] = this;
    } else if (cmp == 0) {
        
        result[0] = new BigInteger(this.signum * val.signum);
        result[1] = ZERO;
    } else {
        
        result = divideMagnitude(val);
        result[0] = result[0].multiply(new BigInteger(this.signum * val.signum));
    }
    return result;
}

divideMagnitude分析

divideMagnitude 的主要目标是通过处理两个 BigInteger 的绝对值来执行除法。这种实现通常依赖于多精度长除法算法（例如 Knuth 算法 D），用于有效地求解商和余数。

核心逻辑分析

1. 输入准备：

   • 接受两个绝对值作为输入，一个是被除数 this，另一个是除数。
   • 如果被除数的长度比除数短，则直接返回商为 0，余数为被除数，因为没有足够的“位”来进行完整的除法。

2. 标准化：

   • 在进行实际除法计算之前，对输入进行标准化处理。标准化即调整被除数和除数，使得最高有效位非零，这可以提高计算的准确性。

3. 主要计算步骤：

   • 使用类似长除法的过程：逐位估算商。
   • 从高到低处理每一位，使用除数估算并校正商。
   • 根据当前的商估计值更新余数，当发现估计不准确时进行调整。

4. 结果构建：

   • 计算完成后，将商和余数封装为 BigInteger 对象并返回。
   • 商通常为一个新数组表示的大整数，余数则是最后剩下的未完全消除的部分。

5. 复杂度管理：

   • 该方法设计上需要高效处理多个字大小的整数，避免不必要的冗余计算。
   • 内部可能包含优化以便更好地处理特定大小或形态的输入。

示例伪代码

以下是 divideMagnitude 的简单化伪代码示例：

private BigInteger[] divideMagnitude(BigInteger divisor) {
    
    int[] quotient = new int[this.mag.length];
    int[] remainder = this.mag.clone();
    int[] divisorMag = divisor.mag;
    
    
    normalize(remainder, divisorMag);

    for (int i = 0; i < this.mag.length; i++) {
        
        int qHat = estimateQuotient(remainder, divisorMag, i);
        
        
        boolean correctionNeeded = correctQuotient(qHat, remainder, divisorMag, i);
        if (correctionNeeded) {
            qHat--;
            adjustRemainder(remainder, divisorMag, i);
        }
        
        
        quotient[i] = qHat;
    }
    
    
    return new BigInteger[] { new BigInteger(quotient), new BigInteger(remainder) };
}

结论

• divideMagnitude 是在 BigInteger 中用于进行深层次的数学运算的核心方法之一。
• 它通过复用经典长除法思想来适应任意大小的数字运算需求。
• 具体代码实现具有高度优化性，确保其能在各种输入规模下保持良好的性能表现。

BigDecimal与Double对比

BigDecimal

1. 数值表示：

   • BigDecimal 使用一个 BigInteger 来存储数值，这意味着它能够处理任意大小的整数部分。
   • 小数位通过一个整数来表示刻度（scale），定义了小数点右边的位数。

2. 内部结构：

   • BigInteger 是 BigDecimal 的核心组成部分，是由一个 int[] 数组来存储多位整数，类似于手动实现的大数运算。
   • scale 决定了小数点的位置。例如，一个值为 123.45 的 BigDecimal 可以表示为一个未标记的整数 12345 与一个 scale 值 2。

3. 运算与精度：

   • 算术运算（如加法、减法、乘法和除法）在软件层面上执行，自行管理进位和截断。
   • 支持多种舍入模式（如四舍五入、向上取整、向下取整等），由用户在进行除法时明确指定。

4. 存储和内存使用：

   • 因为采用 BigInteger，BigDecimal 没有固定的位限制，消耗的内存与数字的大小和精度直接相关。

5. 不可变性：

   • 每次操作都会返回一个新的 BigDecimal 对象，以确保对象的不可变性。这增加了安全性，但也可能导致频繁的对象创建和垃圾回收。

double

1. 数值表示：

   • double 是一种基于 IEEE 754 标准的双精度浮点数表示，占用 64 位。
   • 结构上包括：1 位符号位，11 位指数位，以及 52 位有效数字（尾数）。

2. 内部结构：

   • 浮点数以科学计数法表示，即 (-1)^sign × (1.mantissa) × 2^(exponent-1023)，这里的 mantissa 是隐式的，默认存在一个隐藏的1。
   • 指数部分使用偏移量形式，使得既可以表示非常大的正数，也可以表示接近零的负数。

3. 运算与精度：

   • 运算直接由 CPU 硬件支持，因此速度极快。
   • 由于二进制浮点数无法精确表示所有的十进制小数（例如 0.1），所以可能出现舍入误差。
   • 精度约为15到17位十进制有效数字。

4. 存储和内存使用：

   • 固定占用 8 个字节（64 位），因此其存储开销是恒定的，与数值的具体大小无关。

5. 应用场景：

   • 适用于快速科学计算、图形渲染等场合，但不适合需要高精度和精确舍入的金融计算。

对比总结

• 精度与控制：BigDecimal 提供了高精度和舍入控制，而 double 则依赖硬件的自动舍入机制。
• 性能：double 由于硬件支持，运算速度远高于 BigDecimal，但容易产生精度误差。
• 灵活性与复杂性：BigDecimal 更复杂，提供更大范围的数值和精度控制；double 简单且固定，更易于使用。